운동장에 있는 커다란 나무, 저 높은 건물의 키는 어떻게 잴 수 있을까요? 사다리를 타고 올라가지 않고도, 막대기 하나와 그림자만 있으면 잴 수 있답니다. 오늘은 그림자 속에 숨은 신기한 수학의 비밀을 파헤쳐 봐요.

맑은 날 햇빛 아래 서 있으면, 우리 발밑에 그림자가 생겨요. 그림자는 왜 생길까요? 바로 우리 몸이 햇빛을 가로막기 때문이에요. 빛이 물체를 통과하지 못하고 막히면, 그 반대쪽 바닥에 어두운 그림자가 드리워지는 거지요. 키가 큰 물체는 그림자도 길고, 키가 작은 물체는 그림자도 짧아요.

그런데 여기에 아주 재미있는 규칙이 숨어 있어요. 같은 시각, 같은 장소에서는 모든 물체의 ‘키’와 ‘그림자 길이’가 똑같은 비율을 이룬다는 거예요. 무슨 말인지 예를 들어 볼게요. 운동장에 1m짜리 막대기를 똑바로 세웠더니, 그림자가 2m로 늘어났다고 해 봐요. 그러면 그림자의 길이가 실제 키의 딱 2배가 된 셈이지요. 신기하게도, 바로 그 순간에는 운동장의 나무도, 건물도, 사람도 모두 똑같이 그림자가 자기 키의 2배로 생겨요.

이 규칙을 알면 높은 나무의 키도 쉽게 잴 수 있어요. 방법은 이래요. 먼저 1m짜리 막대기를 세우고 그림자 길이를 재요. 그림자가 2m라면, ‘그림자는 키의 2배’라는 사실을 알아낸 거예요. 이제 나무의 그림자 길이를 재 보는 거죠. 만약 나무의 그림자가 8m라면, 나무의 진짜 키는 그 절반인 4m가 돼요. 높은 곳에 올라가지 않고, 바닥에 생긴 그림자만 재서 나무의 키를 알아낸 거예요. 이렇게 두 값이 똑같은 비율로 커지거나 작아지는 관계를 수학에서는 ‘비례’라고 불러요.

여기서 꼭 기억할 점이 하나 있어요. 막대기의 그림자와 나무의 그림자는 반드시 ‘같은 시각’에 재야 한다는 거예요. 왜냐하면 해는 시간이 지나면서 하늘에서 조금씩 자리를 옮기고, 그에 따라 그림자의 길이도 계속 달라지기 때문이에요. 아침저녁으로 해가 낮게 떠 있을 때는 그림자가 길게 늘어지고, 한낮에 해가 높이 떴을 때는 그림자가 짧아져요. 그러니 막대기 그림자를 잰 바로 그 시각에 나무 그림자도 재야 정확한 답이 나온답니다.

사실 이 방법은 아주 오래전부터 쓰였어요. 수천 년 전 그리스에 ‘탈레스’라는 지혜로운 학자가 있었는데, 그가 이집트의 거대한 피라미드 높이를 바로 이 그림자의 원리로 알아냈다는 이야기가 전해 내려와요. 사다리도 줄자도 없던 시절, 피라미드 꼭대기에 올라가지 않고도 땅에 생긴 그림자만으로 높이를 잰 거예요. 오늘날 우리가 배우는 수학이 얼마나 오래되고 지혜로운 것인지 느껴지지 않나요?

마침 요즘은 그림자를 관찰하기에 좋은 때예요. 여름에는 1년 중 해가 가장 높이 뜨는 ‘하지’가 있어서, 한낮이면 그림자가 짧아지거든요. 계절이 바뀌면 같은 시각이라도 그림자 길이가 달라지는 것을 직접 확인할 수 있어요. 오늘 학교나 집 앞에서 막대기 하나를 세워 놓고, 친구나 가족과 함께 그림자로 키를 재는 놀이를 해 보는 건 어떨까요? 수학은 교실 안 문제집에만 있는 게 아니라, 이렇게 햇빛과 그림자 속에도 숨어 있답니다.

🤔 함께 생각해 볼까요?

1. 하루 중 내 그림자가 가장 길어지는 때와 가장 짧아지는 때는 언제일까요? 왜 그렇게 달라질까요?
2. 그림자 말고도, 직접 올라가거나 만지지 않고 무언가의 크기나 거리를 알아낼 수 있는 방법에는 또 무엇이 있을까요?

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